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[Dino笔记]多自由度体系模型的振型求解

作者:dinochen1983 日期:2021-06-20

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【Dino结构笔记】多自由度体系模型的振型求解


【程序下载】程序:MDOF振型求解小程序modeShape.rar

【PPT下载】PPT:MDOF的振型求解方法.pdf
【笔记下载】Pdf:关于振型求解的相关计算笔记.pdf

本篇笔记的内容是香港大学研究生抗震课程第4课的相关内容:

通过公式推导,代入数值手算及编程的方法介绍MDOF的振型求解。



求解振型的小程序的界面




如何在ETABS或SAP2000建立层剪切模型或求解振型的方法,可以看以下的DINO公开课视频

[Dino公开课]多自由度简化模型的建模方法

http://www.dinochen.com/article.asp?id=260




单自由度体系的周期求解公式如下:


从公式可见,结构的周期只与质量与刚度有关,与外荷载与阻尼比无关,所以周期、振型就是一种结构自我的特性。
我们把这个公式改为原来形态,即无阻尼的自由振动形式:

把这个单自由度公式改成多自由度的公式,即变成如下公式:

我们假定位移的解为位移函数为:

加速度就是求两次导数

代入方程可以得到:

要想方程等于0,那么系数项的特征值就为0


所以周期与振型的计算,就变成了矩阵的特征值问题了
这个矩阵[A]的特征值方程的解ω就是结构每个振型的圆频率。
以2个自由度的体系来说,求解特征值就非常简单如下所示:


2x2行列式可直接写成如下形式

求解上面的一元二次方程得解。
具体的例题求解可见附件的PPT

PPT的下载地址:【PPT下载】PPT:MDOF的振型求解方法.pdf



PPT提供了2自由度与4自由度的手算方法。



那么对于复杂的多自由度系统的求解,就要采用数值求解方法了。


上述方程的特征值可以不能通过Jacobi数值算法求得,
主要是因为Jacobi数值算法只能求解对移矩阵的特征值 
所以需要把[m]^(-1) [k]变成对称矩阵


采用Jacobi求解矩阵[B]的特征值即可。程序的主要源代码如下图所示:

下述方法直接写出层模型[B]矩阵,然后采用Jacobi的特征值求解


最后根据上述的矩阵方法,可以编制振型计算小程序如下所示:


详细编制过程可以看《笔记》
【笔记下载】Pdf:关于振型求解的相关计算笔记.pdf

本篇笔记附送 dino“真的”结构动力学笔记,如下图所示。



最后的彩蛋:

展示采用SAP2000对薄板高频振动分析的分析结果图案,与现实试验的动画如下图所示。

SAP2000的建模与边界条件。





SAP2000的振型结果


真实薄片(薄板)高频振动试验(通过共振激出高频振型)

视频来源:https://www.youtube.com/watch?v=wvJAgrUBF4w
可下载的资料汇总

【程序下载】程序:MDOF振型求解小程序modeShape.rar

【PPT下载】PPT:MDOF的振型求解方法.pdf
【笔记下载】Pdf:关于振型求解的相关计算笔记.pdf




[本日志由 dinochen1983 于 2021-11-08 04:32 PM 编辑]
文章来自: 本站原创
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Tags: 动力学动力学
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