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[Dino笔记]多自由度体系模型的振型求解
作者:dinochen1983 日期:2021-06-20
【Dino结构笔记】多自由度体系模型的振型求解
【程序下载】
程序：MDOF振型求解小程序modeShape.rar
【PPT下载】
本篇笔记的内容是香港大学研究生抗震课程第4课的相关内容：
通过公式推导，代入数值手算及编程的方法介绍MDOF的振型求解。
PPT：MDOF的振型求解方法.pdf
【笔记下载】Pdf：关于振型求解的相关计算笔记.pdf
求解振型的小程序的界面
如何在ETABS或SAP2000建立层剪切模型或求解振型的方法，可以看以下的DINO公开课视频
[Dino公开课]多自由度简化模型的建模方法
http://www.dinochen.com/article.asp?id=260
单自由度体系的周期求解公式如下：
从公式可见，结构的周期只与质量与刚度有关，与外荷载与阻尼比无关，所以周期、振型就是一种结构自我的特性。
我们把这个公式改为原来形态，即无阻尼的自由振动形式：
把这个单自由度公式改成多自由度的公式，即变成如下公式：
我们假定位移的解为位移函数为：
加速度就是求两次导数
代入方程可以得到：
要想方程等于0，那么系数项的特征值就为0
所以周期与振型的计算，就变成了矩阵的特征值问题了
这个矩阵[A]的特征值方程的解ω就是结构每个振型的圆频率。
以2个自由度的体系来说，求解特征值就非常简单如下所示：
2x2行列式可直接写成如下形式
求解上面的一元二次方程得解。
具体的例题求解可见附件的PPT
PPT的下载地址：【PPT下载】
PPT：MDOF的振型求解方法.pdf
PPT提供了2自由度与4自由度的手算方法。
那么对于复杂的多自由度系统的求解，就要采用数值求解方法了。
上述方程的特征值可以不能通过Jacobi数值算法求得，
主要是因为Jacobi数值算法只能求解对移矩阵的特征值
所以需要把[m]^(-1) [k]变成对称矩阵
采用Jacobi求解矩阵[B]的特征值即可。程序的主要源代码如下图所示：
下述方法直接写出层模型[B]矩阵，然后采用Jacobi的特征值求解
最后根据上述的矩阵方法，可以编制振型计算小程序如下所示：
详细编制过程可以看《笔记》
【笔记下载】
Pdf：关于振型求解的相关计算笔记.pdf本篇笔记附送 dino“真的”结构动力学笔记，如下图所示。
最后的彩蛋：
展示采用SAP2000对薄板高频振动分析的分析结果图案，与现实试验的动画如下图所示。
SAP2000的建模与边界条件。
SAP2000的振型结果
真实薄片(薄板)高频振动试验（通过共振激出高频振型）
视频来源：https://www.youtube.com/watch?v=wvJAgrUBF4w
可下载的资料汇总
【程序下载】程序：MDOF振型求解小程序modeShape.rar
【PPT下载】PPT：MDOF的振型求解方法.pdf
【笔记下载】Pdf：关于振型求解的相关计算笔记.pdf
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